张 青

中南财经政法大学   财税学院

 【摘要】相对贫困是收入相当于社会平均收入水平一个较低比例的社会生活状态，相对贫困人口比率是指相对贫困人数占全体人口的比率。由洛伦兹曲线可以求出相对贫困人口比率，通过消除相对贫困可以有效降低基尼系数。

【关键词】贫困；相对贫困；洛伦兹曲线；基尼系数

贫困是一种普遍的社会现象，一国（地区）政府通过消除贫困，可以有效地降低收入差距，促进社会公平。

一、贫困

贫困有绝对贫困与相对贫困之分。绝对贫困又叫生存贫困，是指在一定的社会发展状况下，个人和家庭依*其全部合法所得收入不能维持其基本的生存需要的一种社会生活状态，通常以每天收入低于某一水平作为绝对贫困标准。如按国际标准，每人每天收入低于1美元的人或家庭为绝对贫困人口或贫困户。相对贫困则是收入相当于社会平均收入水平一个较低比例γ（0＜γ＜1）的社会生活状况。例如，经济合作与发展组织（OECD）在1976年组织了对其成员国的一次大规模调查后提出了一个相对贫困标准，该指标以一个国家或地区社会中位收入或平均收入的50%作为这个国家或地区的贫困线，这就是后来被广泛运用的国际贫困标准。也有国家（地区）或国际组织将平均收入的1/3或60%作为相对贫困标准。

通常，发展中国家多选择绝对贫困为其贫困标准，而发达国家由于其绝对贫困人口比例较低，多选择相对贫困为其贫困标准。在一个国家的经济社会发展过程中，通常有一个从绝对贫困标准向相对贫困标准过渡的转化过程。

相对贫困人口比率是指相对贫困人数占全体人口的比率，这一比率对政府收入再分配政策、救济标准的制定以及救济总额的确定有重要的意义。

二、相对贫困比率与洛伦兹曲线

首先洛伦茨曲线的定义，设社会总人口数为n，将社会总人口按收入由低到高排序，若前i（1≤i≤n）个人的收入和占全社会总收入的比例为f(i/n)，则将各点(i/n，f(i/n))在平面坐标系中连接起来的曲线即洛伦茨曲线（其中f(0)＝0，f(1)＝1，图1）。当然，洛伦兹曲线也可通过分组方式取得。

设全社会的收入总和为1，则社会平均收入为1/n，则按从低到高顺序第i个人收入为：

f(i/n)－f((i-1)/n)

假设第k个人的收入正好相对贫困的分界点上，则

        f(k/n)－f((k-1)/n)= γ /n                  （1）

（1）表明该人的收入正好是社会平均收入的γ倍。由拉格朗日中值定理，存在一点ξ(k/n＜ξ＜(k-1)/n)，使得：

即

                        （2）

当一个社会中人口众多即n很大时，ξ≈k/n，ξ就是相对贫困人口占总人口的比率，即相对贫困比率。

在坐标图上，相对贫困比率ξ的位置可以如下确定：先在单位矩形中作出洛伦兹曲线f(x)，然后在矩形右边取一点γ（0＜γ＜1），使之到底边的距离为γ，于是oγ的斜率即为γ；在f(x)上作切线c使之平行于oγ（即切线斜率或曲线的导数等于γ），切点对应的横坐标就是相对贫困比率ξ（图1）。

图1 洛伦兹曲线及相对贫困比率

从相对贫困比率ξ与基尼系数的关系来看，当γ固定时（比如γ＝1/2）,基尼系数越大，洛伦兹曲线f(x)与折线OAL围成的曲边三角形面积越小，在f(x)前半段（0＜x＜1/2）就越平坦，相对贫困比率ξ就越大。

三、消除相对贫困前后的基尼系数变化（洛伦兹曲线为幂函数）

制定贫困标准或贫困线的目的是为了消除贫困。现假定某社会初始基尼系数为G₁，对应的洛伦兹曲线是f(x)。为简单起见，不妨设洛伦兹f(x)＝x^λ为幂函数，按基尼系数的定义及计算方法可知：

              （3）

由（2）和（3）确定的相对贫困比率为

            （4）

若政府实施再分配方案，从收入高于相对贫困线的人群中课征所得税转移给相对贫困线之下的人群，使得相对贫困线之下的人群的平均收入恰好达到相对贫困线，这时的洛伦兹曲线过点B（ξ,γξ）（图1），于是：

其中g(x) 仍然是幂函数，且与直线oγ相交于B点。

设政府实施再分配政策后的基尼系数为G₂，则：

   （5）

将（4）和（5）联立，可得γ和ξ。

现在看一个具体实例，假定某社会收入分布曲线洛伦兹曲线为幂函数，初始基尼系数G₁＝0.5，需通过消除相对贫困人口的收入再分配措施将基尼系数降到G₁＝0.4，如何确定相对贫困标准，即如何确定比例γ？贫困人口比例ξ是多少？从（3）可知α＝3，由（4）可知ξ＝(γ/3)^1/2。由（5）可得，ξ＝γ^3/4，于是γ＝1/9，ξ＝19.25%。

从这个例子可以看出，得出的相对贫困线标准偏低，而贫困人口比例比较正常，其主要原因是正常的洛伦兹曲线若用幂函数来拟合会有较大的误差。

四、通过求洛伦兹曲线来确定贫困比率

下面通过一般情形下的收入分组数据来求洛伦兹曲线，进而确定贫困比率。

通常用下面的曲线来拟合洛伦兹曲线效果较佳^[2]：

     (6)

其中C、α、β是待定参数，为测定这些参数，将（6）变为：

                     （7）

然后用分组数据进行回归分析来确定参数C、α和β。

表1                          2009年中国城镇家庭收入分组数据

数据来源：《中国统计年鉴（2010）》，根据表10－7计算而得。

表1是2009年城镇居民家庭按收入等级分组的数据，按公式（7）对表中数据（最后1列除外）进行回归，得出：

其中R²＝0.999933，表明拟合效果良好。于是得C＝0.65021，洛伦兹曲线为：

                        （8）

由此可计算出2009年我国城镇居民家庭收入的基尼系数为0.335。为计算出相对贫困比率ξ，考虑公式（2）的变形：

   （9）

由（9）可得，当γ＝0.5时，ξ＝20%；当γ＝0.40时，ξ＝11.3%；当γ＝1/3时，ξ＝6.4%。从实际情况来看，这个数据是准确的：2009年，我国城镇居民平均每人全部年收入18858.09元，而低收入户的平均收入为8956.81元，略低于平均收入的50%，故以社会平均收入的50%作为相对贫困线所对应的人口比例大约为20%（数据来源同表1）。

    从美国的情况来看，其贫困线基本上确定为平均收入的50%（γ＝0.5），2009年，美国贫困率上升至14.3%，这是美国对穷人进行人口统计51年来的最高纪录，贫困人口也增加了近400万，达到4370万。

     我国的贫困线一直是绝对贫困标准，虽然其水平一直在增长，但贫困标准一直是理论界争论的焦点。随着我国社会经济的不断发展，我国应该着手制定贫困线的新标准，即从绝对贫困标准向相对贫困标准转化。按照我国的实际情况，如果要制定相对贫困标准，应该将贫困线定在社会平均收入水平的1/3至40%为宜。标准过低，对缩小收入差距作用不大，标准过高，政府财力则无法承受。

【参考文献】

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[3]陈博. 洛伦兹曲线的发展及其启示[J]. 生产力研究，2010（11）：13－14.

[4]海外动态. 美国七分之一人口生活在贫困线下[J]. 商品与质量，2010（44）：37-38.